CRR_and_MonteCarlo.ipynb

  1. Black-Scholes 모형으로 pricing & Greeks 계산 (이전 코드에 있음)
  2. CRR 모형으로 european option pricing & Greeks 계산
  3. CRR 모형으로 American option pricing & Greeks 계산
  4. Monte Carlo 모형으로 option pricing & Greeks 계산
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

#Black Scholes Formula
def BS_formula(option_type, S, K, r, T, sigma):
    d1 = (np.log(S/K) + (r + 0.5*sigma**2)*T) / (sigma*np.sqrt(T))
    d2 = d1 - sigma * np.sqrt(T)
    if option_type == 'call':
      price = S * stats.norm.cdf(d1) - K * np.exp(-r * T) * stats.norm.cdf(d2)
    elif option_type == 'put':
      price = - S * stats.norm.cdf(-d1) + K * np.exp(-r * T) * stats.norm.cdf(-d2)
    return price

#Greeks
def delta(option_type, S, K, r, T, sigma):
  d1 = (np.log(S/K) + (r + 0.5 * (sigma ** 2)) * T) / (sigma * np.sqrt(T))
  if option_type == 'call':
    return stats.norm.cdf(d1)
  elif option_type == 'put':
    return stats.norm.cdf(d1) - 1

def theta(option_type, S, K, r, T, sigma):
  d1 = (np.log(S/K) + (r + 0.5 * (sigma ** 2)) * T) / (sigma * np.sqrt(T))
  d2 = d1 - sigma * np.sqrt(T)
  if option_type == 'call':
    theta = (-sigma * S * stats.norm.pdf(d1)) / (2 * np.sqrt(T)) - r * K * np.exp(-r*T) * stats.norm.cdf(d2)
  elif option_type == 'put':
    theta = (-sigma * S * stats.norm.pdf(d1)) / (2 * np.sqrt(T)) + r * K * np.exp(-r*T) * stats.norm.cdf(-d2)
  return theta

def gamma(S,K,r,T,sigma):
  d1 = (np.log(S/K) + (r + 0.5 * (sigma ** 2)) * T) / (sigma * np.sqrt(T))
  gamma = stats.norm.pdf(d1) / (sigma * S * np.sqrt(T))
  return gamma

def vega(S,K,r,T,sigma):
  d1 = (np.log(S/K) + (r + 0.5 * (sigma ** 2)) * T) / (sigma * np.sqrt(T))
  vega = S * np.sqrt(T) * stats.norm.pdf(d1)
  return vega

def rho(option_type, S, K, r, T, sigma):
  d1 = (np.log(S/K) + (r + 0.5 * (sigma ** 2)) * T) / (sigma * np.sqrt(T))
  d2 = d1 - sigma * np.sqrt(T)
  if option_type == 'call':
    rho = K * T * np.exp(-r * T) * stats.norm.cdf(d2)
  elif option_type == 'put':
    rho = - K * T * np.exp(-r * T) * stats.norm.cdf(-d2)
  return rho

CRR Model European option pricing, 이항 트리 모형

def call_payoff(S,K):
  if S > K:
    return (S-K)
  else:
    return 0

def put_payoff(S,K):
  if S < K:
    return (K-S)
  else:
    return 0

def CRR_european(option_type, S0, K, r, T, sigma, n):

  S = np.zeros((n+1, n+1))
  V = np.zeros((n+1, n+1))
  dt = 1 / n

  a = np.exp(r * dt)
  u = np.exp(sigma * np.sqrt(dt))
  d = 1 / u
  p = (a - d) / (u - d)

  S[0,0] = S0 #현재 가격
  for i in range(1, n+1):
    for j in range(n, 0, -1):
      S[j, i] = u * S[j-1, i-1] #i시점에 j는 위로 몇번 올라갔는지
    S[0, i] = d * S[0, i-1] #한 번도 안올라감

  if option_type == 'call':
    for i in range(n+1):
      V[i] = call_payoff(S[i,n],K) #맨 마지막 payoff나옴
    
    for i in range(n, 0, -1):
      for j in range(0,n):
        V[j, i-1] = ((p * V[j+1, i]) + (1-p) * V[j, i]) * np.exp(-r * dt) #(i-1)시점의 노드값 구함

  if option_type == 'put':
    for i in range(n+1):
      V[i] = put_payoff(S[i,n],K) #맨 마지막 payoff나옴
    
    for i in range(n, 0, -1):
      for j in range(0,n):
        V[j, i-1] = ((p * V[j+1, i]) + (1-p) * V[j, i]) * np.exp(-r * dt) #(i-1)시점의 노드값 구함

  P = pd.DataFrame(S)
  F = pd.DataFrame(V)

  
  return V[0,0], P, F #V[0,0]: 구하고 싶은 현재 옵션의 가격

S = 100
K = 100
r = 0.05
T = 1
sigma = 0.3
n = 253

V, P, F = CRR_european('call', S, K, r, T, sigma, n)
print('CRR price: ',V)
print('BS price: ', BS_formula('call', S, K, r, T, sigma))

#점점 n의 수를 늘릴수록 Black Scholes에 수렴해 간다.

CRR price: 14.242110925239784 BS price: 14.231254785985819

P

Untitled

F

Untitled